Ilusión de movimiento: Proyección ortográfica
Es
posible realizar proyecciones del espacio tridimensional sobre el plano de dos
dimensiones, las cuales se denominan Proyecciones
ortográficas.
Las
proyecciones ortogonales son muy útiles para describir el movimiento de objetos
que se mueven en el espacio por medio de una proyección al plano. También se
utilizan para realizar animaciones de objetos en tercera dimensión. Aunque en
realidad, lo que se crea es una ilusión
de movimiento tridimensional.
Las
transformaciones de las coordenadas de un punto (o puntos) del espacio se
realizan mediante un cambio de origen (o transformación
lineal), cambio de escala, y giros respecto a los ejes (de la misma forma se
pueden hacer transformaciones en el plano).
Es posible mover los planos $XY$, $YZ$ y $XZ$ con respecto a tres ángulos diferentes $\alpha$, $\beta$, y $\gamma$, respectivamente. Para ello se pueden utilizar las siguientes matrices:
$$A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & \cos \alpha & -\sin \alpha \\
0 & \sin \alpha & \cos \alpha
\end{array}\right)\;\;\;\;\;
B=\left(\begin{array}{ccc}
\cos \beta & 0 & \sin \beta \\
0 & 1 & 0 \\
-\sin \beta & 0 & \cos \beta
\end{array}\right)\\
C=\left(\begin{array}{ccc}
\cos \gamma & -\sin \gamma & 0\\
\sin \gamma & \cos \gamma & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)$$
Para mover un punto en el espacio $(x,y,z)$, primero se debe realizar la multiplicación de las matrices
$$M=A\cdot B\cdot C$$
Después, para obtener el nuevo punto $(x',y',z')$, se multiplica la matriz $M$ por $(x,y,z)$. Esto es
$$(x',y',z')=M\cdot(x,y,z)$$
La matriz $M$ tiene las siguientes entradas:
$$\left(\begin{array}{ccc}
\cos \beta \cos \gamma & -\cos \beta \sin \gamma & \sin \beta \\
\cos \alpha \sin \gamma +\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma & \cos \alpha \cos \gamma-\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma & -\sin \alpha \cos \beta \\
\sin \alpha \sin \gamma -\cos \alpha \sin \alpha \cos \gamma & \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +\sin \alpha \cos \gamma & \cos \alpha \cos \beta
\end{array}\right)\;\;
$$
Si se desea mover un punto en el espacio $(x,y,z)$ con respecto a un solo ángulo, entonces se debe considerar $\alpha=\beta=\gamma$.
Los siguientes applets, muestran las transformaciones de una base ortonormal y de un punto $(x,y,z)$ en el espacio tridimensional.
$$A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & \cos \alpha & -\sin \alpha \\
0 & \sin \alpha & \cos \alpha
\end{array}\right)\;\;\;\;\;
B=\left(\begin{array}{ccc}
\cos \beta & 0 & \sin \beta \\
0 & 1 & 0 \\
-\sin \beta & 0 & \cos \beta
\end{array}\right)\\
C=\left(\begin{array}{ccc}
\cos \gamma & -\sin \gamma & 0\\
\sin \gamma & \cos \gamma & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)$$
Para mover un punto en el espacio $(x,y,z)$, primero se debe realizar la multiplicación de las matrices
$$M=A\cdot B\cdot C$$
Después, para obtener el nuevo punto $(x',y',z')$, se multiplica la matriz $M$ por $(x,y,z)$. Esto es
$$(x',y',z')=M\cdot(x,y,z)$$
La matriz $M$ tiene las siguientes entradas:
$$\left(\begin{array}{ccc}
\cos \beta \cos \gamma & -\cos \beta \sin \gamma & \sin \beta \\
\cos \alpha \sin \gamma +\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma & \cos \alpha \cos \gamma-\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma & -\sin \alpha \cos \beta \\
\sin \alpha \sin \gamma -\cos \alpha \sin \alpha \cos \gamma & \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +\sin \alpha \cos \gamma & \cos \alpha \cos \beta
\end{array}\right)\;\;
$$
Si se desea mover un punto en el espacio $(x,y,z)$ con respecto a un solo ángulo, entonces se debe considerar $\alpha=\beta=\gamma$.
Los siguientes applets, muestran las transformaciones de una base ortonormal y de un punto $(x,y,z)$ en el espacio tridimensional.
Applet: Este es un ejemplo donde se puede utilizar las proyecciones ortográficas Applet GeoGebra
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