Todo conjunto es compacto y Hausdorff

La compacidad de un espacio $X$ es una de las propiedades más importantes dentro del Análisis pues permite, entre otras cosas, garantizar la existencia de puntos máximo y mínimo de una función continua definida sobre $X$ (Teorema de Weierstrass), así como caracterizar a los subespacios acotados y cerrados de $\mathbb{R}^n$, via el teorema de Heinel-Borel. Inclusive, es posible analizar la posibilidad de viajes en el tiempo a través del concepto de compacidad! Ver aquí la información. Por otro lado, el que un espacio $X$ sea Hausdorff implica que todo subespacio finito de $X$ es cerrado; en particular, se obtiene que los espacios de la forma $\{x\}$ son cerrados, como se conocía para el caso de espacios euclidianos. Otra consecuencia importante es la unicidad del límite de una sucesión de puntos en $X$, lo cual es algo que siempre se quiere tener.

En el presente comentario mostraremos que dado cualquier conjunto $X$ siempre es posible dotarlo de una estructura de espacio topológico con la propiedad de ser compacto y de Hausdorff. 

Definiciones

Recordemos que una topología en un conjunto $X$ es una colección $\tau=\{U\;|\; U\subset X\}$ que satisface:

1.- El conjunto vacio $\emptyset$ y $X$ pertenecen a  $\tau$

2.- La unión de una cantidad arbitraria de elementos de $\tau$ es también un elemento de $\tau$

3.- La intersección de dos elementos de $\tau$ es de nuevo un elemento de $\tau$

La pareja $(X,\tau)$ es llamada espacio topológico, o simplemente espacio y los elementos de $\tau$ son llamados los abiertos del espacio. 

Un espacio $X$ es llamado de Hausdorff si para cualesquiera $x\neq y\in X$ existen vecindades $U_1,U_2$ ajenas tales que $x\in U_1, y\in U_2$. Por otra parte, $X$ es compacto si toda cubierta abierta de él tiene una subcubierta finita.

El espacio en cuestión

Dado $X$ conjunto no vacío y $*\in X$ un elemento dado definimos la colección:

$\tau=\{B\subset X \;|\; *\notin B\;ó\; X\backslash B\:finito\;\}$

Probaremos que $\tau$ es una topología para $X$, llamada la topología de inclusión del punto:

 a) Como $*\notin \emptyset$ se sigue que $\emptyset \in \tau$. Por otro lado, dado que  el complemento $X\backslash X=\emptyset$  es finito, se sigue que $X\in \tau$.

 b) Tomemos una colección arbitraria $\{B_i\}\subset \tau$ y consideremos su unión $B=\cup B_i$. Notemos que si $*\notin B_i, \forall i$, entonces $*\notin B$, por lo que $B\in \tau$. Por otro lado, si resulta que $*\in B_j$, para algún $j$, entonces $X\backslash B_j$ es finito. Dado que

$X\backslash B \subset X\backslash B_j,$

se sigue que $X\backslash B$ es también finito y por lo tanto $B\in \tau$.

c) Tomemos $B_1,B_2\in \tau$ y consideremos $B=B_1\cap B_2$. Notemos que si $*\notin B_i$, para algún $i\in \{1,2\}$, entonces $*\notin B$ y por tanto $B\in \tau$. Por otro lado, si $*\in B_1, *\in B_2$ entonces $X\backslash B_1, X\backslash B_2$ son finitos. Por las leyes de DeMorgan, se sigue que 

$X\backslash B=(X\backslash B_1) \cup (X\backslash B_2)$

por lo que $X\backslash B$ es finito y $B\in \tau$.

Primero mostraremos que con esta topología $X$ es un espacio Hausdorff: sean $x\neq y\in X$

a) Si $x=*$ consideramos $U=\{y\}, V=X\backslash U$ y observemos que $y\in U, x\in V$ y que además $U\cap V=\emptyset$. Si $y=*$ las vecindades se definen de manera análoga.

b) Si $x\neq *\neq y$ entonces $U=\{x\},V=\{y\}$ son las vecindades ajenas buscadas.

Probaremos ahora que $X$ es compacto: sea $\mathcal{U}=\{U_i\}_{i\in I}$ cubierta abierta de $X$ y tomemos $U_j$ tal que $*\in U_j$; es decir, $X\backslash U_j$ es finito. Entonces existen $U_1,U_2,\ldots, U_s\in \mathcal{U}$ abiertos que contienen a cada punto de $X\backslash U_j$. Notemos entonces que 

$U_1\cup U_2\cup \cdots\cup U_s \cup U_j$

forma una subcubierta finita para $X$.

Nota final

Como ocurre en muchos casos en topología los argumentos mostrados arriba no son los únicos que se pueden usar para probar que $X$ es compacto y Hausdorff; surge entonces la pregunta: ¿qué otros métodos pueden usarse para probar que $X$ es compacto y Hausdorff? Si la topología está dada mediante

$\tau'=\{U\subset X \;|\; *\in U\; ó \; U\; finito \}$

(es decir, la topología está dada mediante cerrados), ¿cómo se prueban la compacidad y la propiedad de ser Hausdorff?